题目内容
(本题满分16分)
已知函数(a为实常数).
(1)若,求证:函数
在(1,+.∞)上是增函数;
(2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的
值;
(3)若存在,使得
成立,求实数a的取值范围.
(1)当时,
,当
,
,
故函数在
上是增函数.…………………………………………………4分
(2),当
,
.
若,
在
上非负(仅当
,x=1时,
),故函数
在
上是增函数,此时
. ………………………………………………6分
若,当
时,
;当
时,
,此时
是减函数; 当时,
,此时
是增函数.故
.
若,
在
上非正(仅当
,x=e时,
),故函数
在
上是减函数,此时
.……………………………………8分
综上可知,当时,
的最小值为1,相应的x值为1;当
时,
的最小值为,相应的x值为
;当
时,
的最小值为
,
相应的x值为.……………………………………………………………………10分
(3)不等式, 可化为
.
∵, ∴
且等号不能同时取,所以
,即
,
因而(
)………………………………………………12分
令(
),又
,…………………14分
当时,
,
,
从而(仅当x=1时取等号),所以
在
上为增函数,
故的最小值为
,所以a的取值范围是
. ………………………16分

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