题目内容

(本题满分16分)

已知函数(a为实常数).

(1)若,求证:函数在(1,+.∞)上是增函数;

(2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值;

(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围.

(1)当时,,当

故函数上是增函数.…………………………………………………4分

(2),当

上非负(仅当,x=1时,),故函数上是增函数,此时. ………………………………………………6分

,当时,;当时,,此时

是减函数; 当时,,此时是增函数.故

上非正(仅当,x=e时,),故函数上是减函数,此时.……………………………………8分

综上可知,当时,的最小值为1,相应的x值为1;当时,

的最小值为,相应的x值为;当时,的最小值为

相应的x值为.……………………………………………………………………10分

(3)不等式,   可化为

, ∴且等号不能同时取,所以,即

因而)………………………………………………12分

),又,…………………14分

时,

从而(仅当x=1时取等号),所以上为增函数,

的最小值为,所以a的取值范围是. ………………………16分

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