Question

3．某数列{a_n}是等比数列，记其公比为q，前n项和为S_n，若S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列，q=-2．

Answer 1

分析 首先由S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列，可得2S_n=S_n+1+S_n+2，然后利用等比数列的求和公式分别表示S_n+1，S_n，S_n+2，注意分q=1和q≠1两种情况讨论，解方程即可．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，
且S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列，则2S_n=S_n+1+S_n+2，
若q=1，则S_n=na₁，显然不成立，
若q≠1，则为$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+1}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+2}）}{1-q}$，
即2qⁿ=qⁿ⁺¹+qⁿ⁺²，
即q²+q-2=0，
因此q=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查等比数列的求和公式，注意对公比为字母，则需要分类讨论．