Question

12．f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-2x³+3x+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 要求f（x）解析式，只需求出x≤0时表达式即可，设x＜0，则-x＞0，由奇函数性质及已知表达式可求得x＜0时f（x），由奇函数性质可求f（0）=0．

解答 解：设x＜0  则-x＞0，
∵x＞0时，f（x）=-2x³+3x+1，
∴f（-x）=2x³-3x+1，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴2x³-3x+1=-f（x），
∴f（x）=-2x³+3x-1，（x＜0）
由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{3}+3x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-2{x}^{3}+3x+1，x＞0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，考查学生综合利用函数性质解决问题的能力．