Question

3．已知关于x的方程x²+（m+1）x+1=0．
（1）若方程两根都在（0，+∞）上，求实数m的取值范围；
（2）若方程两根都在（$\frac{1}{2}$，+∞）上，求实数m的取值范围；
（3）若方程两根都在（0，2）上，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得△=（m+1）²-4≥0且x₁+x₂=-（m+1）＞0且x₁x₂=1＞0，从而解得；
（2）由题意得△=（m+1）²-4≥0且（x₁-$\frac{1}{2}$）+（x₂-$\frac{1}{2}$）=-（m+1）-1＞0且（x₁-$\frac{1}{2}$）（x₂-$\frac{1}{2}$）=1-$\frac{1}{2}$（-（m+1））+$\frac{1}{4}$＞0，从而解得；
（3）由题意得△=（m+1）²-4≥0且1＞0且4+2（m+1）+1＞0且0＜-$\frac{m+1}{2}$＜2，从而解得．

解答 解：（1）由题意得，
△=（m+1）²-4≥0且x₁+x₂=-（m+1）＞0且x₁x₂=1＞0，
解得，m≤-3；
（2）由题意得，
△=（m+1）²-4≥0且（x₁-$\frac{1}{2}$）+（x₂-$\frac{1}{2}$）=-（m+1）-1＞0且（x₁-$\frac{1}{2}$）（x₂-$\frac{1}{2}$）=1-$\frac{1}{2}$（-（m+1））+$\frac{1}{4}$＞0，
解得，-$\frac{7}{2}$＜m≤-3，
（3）由题意得，
△=（m+1）²-4≥0且1＞0且4+2（m+1）+1＞0且0＜-$\frac{m+1}{2}$＜2，
解得，-$\frac{7}{2}$＜m≤-3．

点评 本题考查了二次方程的根的位置的判断，考查了韦达定理．