题目内容
已知函数.
(Ⅰ)若,求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)设函数图象上任意一点的切线的斜率为,当的最小值为1时,求此时切线的方程.
(Ⅰ)的单调递增区间为,;单调递减区间为;极大值为;极小值为; (Ⅱ)切线的方程为:.
解析试题分析:(Ⅰ)注意,的定义域为().将代入,求导得:.由得,或,由得,由此得的单调递增区间为,;单调递减区间为,进而可得极大值为;极小值为. (Ⅱ)求导,再用重要不等式可得导数的最小值,即切线斜率的最小值:,由此得.由,即得,所以切点为,由此可得切线的方程.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为()时, 1分
当时, 2分
由得,
由得,或,由得, 3分
∴的单调递增区间为,;单调递减区间为 5分
∴极大值为;极小值为 7分
(Ⅱ)由题意知 ∴ 9分
此时,即,∴,切点为, 11分
∴此时的切线方程为:. 13分
考点:导数的应用.
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