题目内容
【题目】已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.
(1)若f(x)在 上的最大值为
,求实数b的值;
(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)b=0; (2)a≤-1.
【解析】
(1)由f(x)=﹣x3+x2+b,得f′(x)=﹣3x2+2x=﹣x(3x﹣2),令f′(x)=0,得x=0或x=.由此列表讨论能求出b=0.
(2)由g(x)≥﹣x2+(a+2)x,得(x﹣lnx)a≤x2﹣2x.由已知得a≤()min.由此利用构造法和导数性质能求出a≤﹣1.
(1)由f(x)=-x3+x2+b,得f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f′(x)=0,得x=0或x=.列表如下:
x | - | 0 | ||||
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - | |
f(x) | f | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
由f=
+b,f
=
+b,∴f
>f
,即函数f(x)在
上的最大值为f
=
+b=
,∴b=0.
(2)由g(x)≥-x2+x,得
a≤x2-2x.∵x∈[1,e],∴ln x≤1≤x,且等号不能同时成立,∴ln x<x,即x-ln x>0,∴a≤
恒成立,即a≤
.令t(x)=
,x∈[1,e],求导得,t′(x)=
,当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2(1-ln x)>0,从而t′(x)≥0,∴t(x)在[1,e]上为增函数,∴t(x)min=t(1)=-1,∴a≤-1.
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【题目】学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏,学习雷锋精神时全修好;
单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计,具体数据如下:
损坏餐椅数 | 未损坏餐椅数 | 总 计 | |
学习雷锋精神前 | 50 | 150 | 200 |
学习雷锋精神后 | 30 | 170 | 200 |
总 计 | 80 | 320 | 400 |
(1)求:学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少?并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关?
(2)请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关?