Question

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列{

1

anan+2

}的前n项和为S_n，不等式Sn＞

1

3

loga(1-a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知a₁=1．当n=2时，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，由此可知a₂=2．
（2）由题意知，a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．同样有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），由此得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．所以a_n+1-a_n=1．所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（3）由（2）知a_n=n，则

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．再用裂项求和法能够推导出实数a的取值范围．

解答：（1）解：当n=1时，有a₁³=a₁²，
由于a_n＞0，所以a₁=1．
当n=2时，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，
将a₁=1代入上式，由于a_n＞0，所以a₂=2．
（2）解：由于a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
则有a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，
由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1．③
同样有a_n²=2（a₁+a₂+…+a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1，所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
故a_n=n．
（3）解：由（2）知a_n=n，则

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
所以Sn=

1

a1a3

+

1

a2a4

+

1

a3a5

++

1

an-1an+1

+

1

anan+2

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)++

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．
∵Sn+1-Sn=

1

(n+1)(n+3)

＞0，
∴数列{S_n}单调递增．
所以(Sn)min=S1=

1

3

．
要使不等式Sn＞

1

3

loga(1-a)对任意正整数n恒成立，只要

1

3

＞

1

3

loga(1-a)．
∵1-a＞0，∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即0＜a＜

1

2

．
所以，实数a的取值范围是(0，

1

2

)．

点评：本题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识