Question

3．已知函数f（x）=x²-2x，若关于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数t的取值范围为$（{1，\frac{3}{2}}）$．

Answer 1

分析 令h（x）=|f（x）|+|f（a-x）|，从而可判断h（x）的图象关于x=$\frac{a}{2}$对称，从而可得a=1；进而化简h（x）=|x²-2x|+|（1-x）²-2（1-x）|，再作图求解即可．

解答 解：令h（x）=|f（x）|+|f（a-x）|，
则h（a-x）=h（x）；
故h（x）的图象关于x=$\frac{a}{2}$对称，
又∵方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，
故4×$\frac{a}{2}$=2；
故a=1；
故h（x）=|f（x）|+|f（a-x）|=|x²-2x|+|（1-x）²-2（1-x）|
=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x-1，x≤-1}\\{-2x+1，-1＜x≤0}\\{-2{x}^{2}+2x+1，0＜x≤1}\\{2x-1，1＜x≤2}\\{{2x}^{2}-2x-1，x＞2}\end{array}\right.$；
作函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x-1，x≤-1}\\{-2x+1，-1＜x≤0}\\{-2{x}^{2}+2x+1，0＜x≤1}\\{2x-1，1＜x≤2}\\{{2x}^{2}-2x-1，x＞2}\end{array}\right.$的图象如下，

关于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4个不同的实数根可转化为
函数h（x）=|x²-2x|+|（1-x）²-2（1-x）|与y=t有四个不同的交点，
故结合图象可知，实数t的取值范围为：$（{1，\frac{3}{2}}）$．
故答案为：$（{1，\frac{3}{2}}）$．

点评 本题考查了绝对值函数的应用及函数的性质应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．