题目内容
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C上任意一点到点M(0,
)的距离与到直线y=-
的距离相等.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设A1(x1,0),A2(x2,0)是x轴上的两点(x1+x2≠0,x1x2≠0),过点A1,A2分别作x轴的垂线,与曲线C分别交于点A1′,A2′,直线A1′A2′与x轴交于点A3(x3,0),这样就称x1,x2确定了x3.同样,可由x2,x3确定了x4.现已知x1=6,x2=2,求x4的值.
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(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设A1(x1,0),A2(x2,0)是x轴上的两点(x1+x2≠0,x1x2≠0),过点A1,A2分别作x轴的垂线,与曲线C分别交于点A1′,A2′,直线A1′A2′与x轴交于点A3(x3,0),这样就称x1,x2确定了x3.同样,可由x2,x3确定了x4.现已知x1=6,x2=2,求x4的值.
分析:(I)根据抛物线的定义,可得曲线C是以点M(0,
)为焦点,直线y=-
为准线的抛物线,算出焦参数p=1即得
抛物线方程为x2=2y,即为所求曲线C的方程;
(II)由抛物线方程可得:A1′(x1,
x12),A2′(x2,
x22),从而化简出A1′A2′斜率为
(x1+x2),得出直线A1′A2′方程,令y=0得
=
+
,结合x1=6、x2=2算出x3=
.再用同样的方法算出
=
,即可求出x4的值.
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抛物线方程为x2=2y,即为所求曲线C的方程;
(II)由抛物线方程可得:A1′(x1,
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x |
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x1 |
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x2 |
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x4 |
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解答:解:(Ⅰ)因为曲线C上任意一点到点M(0,
)的距离与到直线y=-
的距离相等,
根据抛物线定义知,曲线C是以点M(0,
)为焦点,直线y=-
为准线的抛物线,
设抛物线方程为x2=2py,可得
=
,解得p=1,
故抛物线方程为x2=2y即为所求曲线C的方程; …(4分)
(Ⅱ)由题意,得A1′(x1,
x12),A2′(x2,
x22),
则kA1′A2′=
=
(x1+x2),
故直线A1′A2′方程为:y-
x12=
(x1+x2)(x-x2). …(6分)
令y=0,得
=
+
,即
=
+
. …(8分)
∵x1=6,x2=2,∴
=
+
=
+
=
,可得x3=
同理可得
=
+
=
+
=
,…(9分)
于是求得x4的值为
. …(10分)
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根据抛物线定义知,曲线C是以点M(0,
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设抛物线方程为x2=2py,可得
p |
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故抛物线方程为x2=2y即为所求曲线C的方程; …(4分)
(Ⅱ)由题意,得A1′(x1,
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则kA1′A2′=
| ||
x2-x1 |
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故直线A1′A2′方程为:y-
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令y=0,得
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x |
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x1 |
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x2 |
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x3 |
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x1 |
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∵x1=6,x2=2,∴
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x3 |
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x1 |
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x2 |
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同理可得
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x4 |
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x3 |
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x2 |
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于是求得x4的值为
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点评:本题给出曲线C满足的条件,求曲线的方程并讨论曲线上两点与x轴上的点共线的问题.着重考查了直线的斜率、抛物线的定义与简单性质和动点轨迹方程求法等知识,属于中档题.
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