题目内容

在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C上任意一点到点M(0,
1
2
)的距离与到直线y=-
1
2
的距离相等.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设A1(x1,0),A2(x2,0)是x轴上的两点(x1+x2≠0,x1x2≠0),过点A1,A2分别作x轴的垂线,与曲线C分别交于点A1′,A2′,直线A1′A2′与x轴交于点A3(x3,0),这样就称x1,x2确定了x3.同样,可由x2,x3确定了x4.现已知x1=6,x2=2,求x4的值.
分析:(I)根据抛物线的定义,可得曲线C是以点M(0,
1
2
)为焦点,直线y=-
1
2
为准线的抛物线,算出焦参数p=1即得
抛物线方程为x2=2y,即为所求曲线C的方程;
(II)由抛物线方程可得:A1′(x1
1
2
x12),A2′(x2
1
2
x22),从而化简出A1′A2′斜率为
1
2
(x1+x2),得出直线A1′A2′方程,令y=0得
1
x
=
1
x1
+
1
x2
,结合x1=6、x2=2算出x3=
3
2
.再用同样的方法算出
1
x4
=
7
6
,即可求出x4的值.
解答:解:(Ⅰ)因为曲线C上任意一点到点M(0,
1
2
)的距离与到直线y=-
1
2
的距离相等,
根据抛物线定义知,曲线C是以点M(0,
1
2
)为焦点,直线y=-
1
2
为准线的抛物线,
设抛物线方程为x2=2py,可得
p
2
=
1
2
,解得p=1,
故抛物线方程为x2=2y即为所求曲线C的方程;                     …(4分)
(Ⅱ)由题意,得A1′(x1
1
2
x12),A2′(x2
1
2
x22),
kA1A2=
1
2
(x22-x12)
x2-x1
=
1
2
(x1+x2),
故直线A1′A2′方程为:y-
1
2
x12=
1
2
(x1+x2)(x-x2).                        …(6分)
令y=0,得
1
x
=
1
x1
+
1
x2
,即
1
x3
=
1
x1
+
1
x2
.              …(8分)
∵x1=6,x2=2,∴
1
x3
=
1
x1
+
1
x2
=
1
6
+
1
2
=
2
3
,可得x3=
3
2

同理可得
1
x4
=
1
x3
+
1
x2
=
1
2
+
2
3
=
7
6
,…(9分)
于是求得x4的值为
6
7
.                                                …(10分)
点评:本题给出曲线C满足的条件,求曲线的方程并讨论曲线上两点与x轴上的点共线的问题.着重考查了直线的斜率、抛物线的定义与简单性质和动点轨迹方程求法等知识,属于中档题.
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