题目内容
【题目】已知抛物线,抛物线上的点
到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程和的值;
(2)如图,是抛物线上的一点,过
作圆
的两条切线交
轴于
,
两点,若
的面积为
,求点
的坐标.
【答案】(1),
;(2)
或
.
【解析】
(1)根据题意,由抛物线的定义可求出,即可求出抛物线的方程,再将点点
代入抛物线方程中,即可求出
的值;
(2)设点,分类讨论当切线
的斜率不存在时和当切线
的斜率不存在时,结合题给
,得出不符合题意;则当切线
,
的斜率都存在时,则
,设切线方程为
,根据圆的切线的性质和点到直线的距离公式,以及韦达定理的应用,即可求出
和
的坐标,再结合
可求出
,即可求出点点
的坐标.
解:(1)由抛物线的定义,易得,
∴,
∴抛物线的方程为,
由于点在抛物线
上,
则,解得:
.
(2)设点,
当切线的斜率不存在时,
,
设切线,
圆心到切线的距离为半径长,即
,
∴,∴
,∴
,不符合题意;
同理,当切线的斜率不存在时,
,不符合题意;
当切线,
的斜率都存在时,则
,
设切线方程为,
圆心到切线的距离为半径长,即
,
两边平方整理得,
设,
为方程的两根,则
,
由切线,切线
,
得,
,
∴
,
由于,则
,
整理得:,
∴或72,
∴或
.
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