Question

（2006•朝阳区二模）已知函数f（x）=x³-

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2

mx2+n，1＜m＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2，求m、n的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=3x²-3mx=3x（x-m），根据导数f′（x）在[-1，1]上的符号情况可判断单调性，由单调性可知其最大值、最小值，根据条件可得方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-2x²+1，易知点P（2，1）在曲线f（x）上．分P为切点及P不为切点时两种情况进行讨论，当P为切点时，利用斜率k=f′（2），由点斜式可求切线方程；当P不为切点时，设切点为Q（x₀，y₀）（x₀≠2），利用点斜式表示出切线方程，代入P点坐标可求得x₀，从而可得切线方程；

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²-3mx=3x（x-m），
∴由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=m．
又1＜m＜2，x∈[-1，1]，
∴当x∈[-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=n，∴n=1．
又f(1)=1-

3

2

m+1=2-

3

2

m，f(-1)=-1-

3

2

m+1=-

3

2

m，∴f（-1）＜f（1）．
由题意得f（-1）=-2，即-

3

2

m=-2，解得m=

4

3

．
故m=

4

3

，n=1为所求． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-2x²+1，易知点P（2，1）在曲线f（x）上．
又f'（x）=3x²-4x，
∴当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（2）=4，
∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
当切点P不是切点时，设切点为Q（x₀，y₀）（x₀≠2），切线l的斜率k=f′(x)|x=x0=3

x

2 0

-4x0，
∴l的方程为 y-y0=(3

x

2 0

-4x0)(x-x0)．
又点P（2，1）在l上，∴1-y0=(3

x

2 0

-4x0)(2-x0)，
∴1-(

x

3 0

-2

x

2 0

+1)=(3

x

2 0

-4x0)(2-x0)，∴

x

2 0

(2-x0)=(3

x

2 0

-4x0)(2-x0)，
∴

x

2 0

=3

x

2 0

-4x0，即2x₀（x₀-2）=0，解得x₀=0．
∴切线l的方程为y=1．    
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性最值，考查学生分析问题解决问题的能力．