题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,求
的最小值;
(2)设函数恰有两个零点
,且
,求
的取值范围.
【答案】(1) ; (2)
【解析】
(1)当时,利用指数函数和二次函数的图象与性质,得到函数的单调性,即可求得函数
的最小值;
(2)分段讨论讨论函数在相应的区间内的根的个数,函数在
时,至多有一个零点,函数
在
时,可能仅有一个零点,可能有两个零点,分别求出
的取值范围,可得解.
(1)当时,函数
,
当时,
,由指数函数的性质,可得函数
在
上为增函数,且
;
当时,
,由二次函数的性质,可得函数
在
上为减函数,在
上为增函数,
又由函数, 当
时,函数
取得最小值为
;
故当时,
最小值为
.
(2)因为函数恰有两个零点
,所以
(ⅰ)当时,函数
有一个零点,令
得
,
因为时,
,所以
时,函数
有一个零点,设零点为
且
,
此时需函数在
时也恰有一个零点,
令,即
,得
,令
,
设,
,
因为,所以
,
,
,
当时,
,所以
,即
,所以
在
上单调递增;
当时,
,所以
,即
,所以
在
上单调递减;
而当时,
,又
时,
,所以要使
在
时恰有一个零点,则需
,
要使函数恰有两个零点
,且
,设
在
时的零点为
,
则需,而当
时,
,
所以当时,函数
恰有两个零点
,并且满足
;
(ⅱ)若当时,函数
没有零点,函数
在
恰有两个零点
,且满足
,也符合题意,
而由(ⅰ)可得,要使当时,函数
没有零点,则
,
要使函数在
恰有两个零点
,则
,但不能满足
,
所以没有的范围满足当
时,函数
没有零点,
函数在
恰有两个零点
,且满足
,
综上可得:实数的取值范围为
.
故得解.
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