题目内容
18.函数f(x)=sin2x+acos2x的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$,则a=0.分析 由辅角公式可得:y=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin(2x+φ),再结合正弦函数的性质与题中的条件得到:当x=$\frac{π}{4}$时,函数取到最值±$\sqrt{{a}^{2}+1}$,然后将x=$\frac{π}{4}$代入函数f(x)的解析式得到关于a的方程,进而解方程即可求出a的值.
解答 解:法一:函数f(x)=sin2x+acos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin(2x+θ),(其中sinθ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$,cosθ=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$),
∵函数f(x)的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$,
∴当x=$\frac{π}{4}$时,函数f(x)取得最值±$\sqrt{{a}^{2}+1}$,
把x=$\frac{π}{4}$代入f(x)得:sin$\frac{π}{2}$+acos$\frac{π}{2}$=1=±$\sqrt{{a}^{2}+1}$,
两边平方得:1=a2+1,即a=0,
故答案为:0
法二:∵函数f(x)=sin2x+acos2x的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$,
∴f(0)=f($\frac{π}{2}$),即:sin0+acos0=sinπ+acosπ,
∴a=-a,解得:a=0.
故答案为:0.
点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的对称性,熟练掌握公式是解本题的关键,属于中档题.
练习册系列答案
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