题目内容

(2012•泸州模拟)已知函数值不为1的函数f(x)定义在实数集上,且对任意x都有f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),又f(3)=2+
3
,则f(2011)的值为(  )
分析:由f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),且f(x)≠1可得f(x+2)=
1+f(x)
1-f(x)
,从而可得f(x+4)=
1+f(x+2)
1-f(x+2)
1
-f(x)
,进而可得f(x+8)=f(x),结合周期可求
解答:解:∵f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),且f(x)≠1
∴f(x+2)=
1+f(x)
1-f(x)

∴f(x+4)=
1+f(x+2)
1-f(x+2)
=
1+
1+f(x)
1-f(x)
1-
1+f(x)
1-f(x)
=
1-f(x)+1+f(x)
1-f(x)-1-f(x)
=
1
-f(x)

∴f(x+8)=f(x)
即函数是以T=8为周期的周期函数
∴f(2011)=f(8×251+3)=f(3)=2+
3

故选A
点评:本题主要考查了由函数的递推关系求解函数的周期,结合周期求解函数值,解题的关键是寻求函数的周期
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