题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,ABCD为矩形,
是以
为直角的等腰直角三角形,平面
平面ABCD.
(1)证明:平面平面PBC;
(2)为直线PC的中点,且
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见详解;(2).
【解析】
(1)由ABCD为矩形,得,再由面面垂直的性质可得
平面PAB,则
,结合
,由线面垂直的判定可得
平面PAD,进一步得到平面
平面PBC;
(2)取AB中点O,分别以OP,OB所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系,分别求出平面MAD与平面MBD的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值,再由平方关系求得二面角
的正弦值.
(1)证明:为矩形,
,
平面
平面ABCD,平面
平面
,
平面PAB,则
,
又,
,
平面PAD,而
平面PBC,
平面
平面PBC,即证.
(2)取AB中点O,分别以OP,OB所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系,
由,
是以
为直角的等腰直角三角形,
得:,
,
,
,
,
,
.
设平面MAD的一个法向量为,
由可得
,
取,得
;
设平面MBD的一个法向量为,
由可得
,
取,得
.
.
设二面角的平面角为
,
则.
二面角
的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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