题目内容
【题目】已知椭圆(
)的离心率为
,左、右焦点分别为
、
,
为椭圆的下顶点,
交椭圆于另一点
、
的面积
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线
交椭圆于
、
两点,点
关于
轴的对称点为
,问:直线
是否过定点?若是,请求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)直线
过定点
【解析】
(1)根据椭圆离心率的公式和椭圆中的关系,可以判断出
的形状,最后结合椭圆的定义和三角形的面积公式进行求解即可;
(2)设出直线的方程,与椭圆的方程联立,利用根与系数关系,三点共线进行求解即可.
(1)由椭圆的离心率,则
,
,
,
∴是等腰直角三角形,
又,
在中,
,即
.
解得,
,
,
∴的面积为
,
,
,
∴椭圆方程为.
(2)设,
,则
,
设直线与
轴交于点
,直线
的方程为
(
),
由有
,
,
,
,
,
由、
、
三点共线,
,即
,
将,
代入整理得
,
即,
从而,即
,解得
,此时满足
.
则直线的方程为
,故直线
过定点
.
(其他解法正确同样给分)
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