题目内容
【题目】已知为坐标原点,椭圆
:
的焦距为
,直线
截圆
:
与椭圆
所得的弦长之比为
,椭圆
与
轴正半轴的交点分别为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点(
且
)为椭圆
上一点,点
关于
轴的对称点为
,直线
,
分别交
轴于点
,
.试判断
是否为定值?若是求出该定值,若不是定值,请说明理由.
【答案】(1);(2)是,定值为4
【解析】
(1)由焦距可知c的值,直线截圆
:
的弦长是2a,截椭圆
的弦长由直线和椭圆方程联立,利用韦达定理可以求出,根据两段弦长之比为
可以求出a,即得;(2)A点坐标是椭圆
与
轴正半轴的交点,可以由(1)得出,点
关于
轴的对称点为
,分别求出直线AB和直线AC的方程,可得两直线与x轴的交点M,N的坐标,最后得出
为定值。
(1)依题意:,
,直线
与圆
相交弦长为直径
.
又∵,∴弦长为
,
∴有.又
,∴求得
,
.
∴椭圆的标准方程:
.
(2)由(1)可知,点的坐标为
,
直线的方程为
,令
,得
.因为点
关于
轴的对称点为
,所以
.
所以直线的方程为
,令
,得
.
∵.
又∵点在椭圆
上,所以
,即
.
∴是否为定值,求得定值为4.
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