题目内容

定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），又设g1（x）=f（x+3），g2（x）=f（3-x），给出下列四个命题：
①f（x）的图象关于直线x=1对称，g1（x）的图象与g2（x）的图象关于直线x=3对称；
②f（x）的图象关于直线x=1对称，g1（x）的图象与g2（x）的图象关于直线x=0对称；
③f（x）的周期为4，g1（x）与g2（x）的周期均为2；
④f（x）的图象关于直线x=2对称，g1（x）的图象与g2（x）的图象关于直线x=3对称．其中正确的命题有
②
②
（填入正确命题的序号）．
分析：f（1+x）=f（1-x），由其横坐标间的数量关系可以判断f（x）的图象关于直线x=1对称，
g2（-x）=g1（x）可以判断g1（x）的图象与g2（x）的图象关于直线x=0对称，问题即可解决．
解答：解：设P（x0，y0）为某曲线上任意一点，
∵P（x0，y0）关于直线x=1的对称点P′（2-x0，y0），
∴点P与点P′的横坐标之和为2，
    由 f（1+x）=f（1-x）知，（1+x）+（1-x）=2，
∴f（x）的图象关于直线x=1对称；
∵g1（x）=f（x+3），g2（x）=f（3-x），
∴g2（-x）=f（x+3）=g1（x），
∴g1（x）的图象与g2（x）的图象关于直线x=0对称；
   故答案为：②．
点评：本题考查函数关于直线的对称问题，重点在于理解曲线上关于直线x=a对称的两点的横坐标之间的关系，是容易题．
练习册系列答案
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π
2
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5π
3
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．
20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
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．
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2
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π
3
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x0
2
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3
2
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2
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π
2
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π
3
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