题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，点M位于线段PC上，PA∥平面MBD，已知AD=4，BD=4
| 3 |
（Ⅰ）求
| PM |
| MC |
（Ⅱ）证明：在△ABD内存在一点N，使MN⊥平面PBD，并求点N到DA，DB的距离．
分析：（1）连接AC交BD于K，连接MK，则
=
=2，由PA∥平面MBD，结合直线与平面平行的性质得PA∥MK，利用比例线段即得
=
=2；
（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出各顶点的坐标，在平面直角坐标系xoy中，△ABD的内部区域满足不等式组，从而得出在△ABO内存在一点N，使MN⊥平面PBD，由点N的坐标得点N到DA，DB的距离即可．
| AK |
| KC |
| AB |
| DC |
| PM |
| MC |
| AK |
| KC |
（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出各顶点的坐标，在平面直角坐标系xoy中，△ABD的内部区域满足不等式组，从而得出在△ABO内存在一点N，使MN⊥平面PBD，由点N的坐标得点N到DA，DB的距离即可．
解答：
解：（1）连接AC交BD于K，连接MK，则
=
=2，
由PA∥平面MBD，平面PAC∩平面MBD=MK，
得PA∥MK，∴
=
=2．（6分）
（2）AD=4，BD=4
，AB=8，∴DA⊥DB，
如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则由题意得，D（0，0，0），B(0，4
，0)，P(2，0，2
)，M(-
，
，
)，设点N的坐标为（x0，y0，0），
则
=(x0+
，y0-
，-
)，
因为MN⊥平面PBD，则
•
=0，
•
=0，∴x0=
，y0=
，
即点N的坐标为N(
，
，0)，（12分）
在平面直角坐标系xoy中，△ABD的内部区域满足不等式组
经检验，点N的坐标满足上述不等式组，
所以在△ABO内存在一点N，使MN⊥平面PBD，
由点N的坐标得点N到DA，DB的距离为
，
．（14分）
解：（1）连接AC交BD于K，连接MK，则| AK |
| KC |
| AB |
| DC |
由PA∥平面MBD，平面PAC∩平面MBD=MK，
得PA∥MK，∴
| PM |
| MC |
| AK |
| KC |
（2）AD=4，BD=4
| 3 |
如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则由题意得，D（0，0，0），B(0，4
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
则
| NM |
| 2 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
因为MN⊥平面PBD，则
| NM |
| DB |
| NM |
| DP |
| 4 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
即点N的坐标为N(
| 4 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
在平面直角坐标系xoy中，△ABD的内部区域满足不等式组
|
经检验，点N的坐标满足上述不等式组，
所以在△ABO内存在一点N，使MN⊥平面PBD，
由点N的坐标得点N到DA，DB的距离为
4
| ||
| 3 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的性质，点、线、面的距离的计算，其中根据已知得到DA⊥DB，建立空间坐标系，将问题转化为向量的计算问题是解答本题的关键．
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