Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．
（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）四边形ABCD是一条对角线AC等于边长的菱形，从而△ABC为正三角形，BC边上的中线AE也是高线，联系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．
（2）先根据AE与PD、PA都垂直，可得到AE⊥平面PAD，从而AE⊥平面AHE，然后求出AE=，得到直角三角形AEH的面积为AE•AH=AH，AH最短时△AHE面积最小．结合已知条件得到AH=，最后转到Rt△PAD中求得PA=2，利用棱锥的体积公式得出四棱锥P-ABCD的体积．
解答：解：（1）AE⊥PD---------------------------------------（1分）
因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
因为E是BC的中点，
∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD-------------------（2分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE---------（3分）
PA∩AD=A，且PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD-----------------------------（5分）
∴AE⊥PD-------------------------------------------------（6分）
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH为直角三角形，----------（7分）
Rt△EAH中，，
当AH最短时，即AH⊥PD时，△AHE面积的最小-----------（8分）
此时，．
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．------------------（10分）
----------------------------------（12分）
点评：本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的体积等几个知识点，属于中档题．在题中出现了探究性问题，请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想．