Question

14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足acosB=$\sqrt{3}$bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）当sinC-sin（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简acosB=$\sqrt{3}$bsinA，由特殊角的三角函数值和内角的范围求出B的值；
（2）由（1）和内角和定理求出A、C的关系式，以及角A的范围，代入已知的式子利用两角差的正弦公式、诱导公式化简，根据角A的范围求出A，即可求出C、b、c的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意得，acosB=$\sqrt{3}$bsinA，
则由正弦定理得，sinAcosB=$\sqrt{3}$sinBsinA，
因为0＜A＜π，则sinA≠0，
所以cosB=$\sqrt{3}$sinB，则tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）得，C=π-A-B=$\frac{5π}{6}-A$，则0＜A＜$\frac{5π}{6}$，
代入sinC-sin（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$化简得，sin（$\frac{5π}{6}-A$）-cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以sin（$A-\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0＜A＜$\frac{5π}{6}$得$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，则$A-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
所以A=$\frac{π}{2}$，则C=$\frac{π}{3}$，
在RT△ABC中，由a=$\sqrt{3}$得c=$\frac{3}{2}$、b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查正弦定理，两角差的正弦公式、诱导公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围，考查化简、计算能力．