Question

9．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（1）求证：平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥D-CAB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知结合面面垂直的判断得答案； 
（2）连结BC₁，交B₁C于点O，连结DO．由三角形中位线的性质得到DO∥AC₁，再由线面平行的判定定理得答案；
（3）由CC₁⊥平面ABC，BB₁∥CC₁，得BB₁⊥平面ABC，从而求得BB₁ 为三棱锥D-CBB₁ 的高，把三棱锥D-CAB₁的体积转化为三棱锥B₁-BCD的体积得答案．

解答 （1）证明：∵CC₁⊥平面ABC，
又CC₁?平面C₁CD，
∴平面C₁CD⊥平面ABC； 
（2）证明：连结BC₁，交B₁C于点O，连结DO．
则O是BC₁的中点，
DO是△BAC₁的中位线．
∴DO∥AC₁．
∵DO?平面CDB₁，
AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（3）解：∵CC₁⊥平面ABC，BB₁∥CC₁，
∴BB₁⊥平面ABC．
∴BB₁ 为三棱锥D-CBB₁ 的高．
${V}_{D-CA{B}_{1}}={V}_{{B}_{1}-CBD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×8=\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
∴三棱锥D-CAB₁的体积为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．