题目内容
【题目】正四棱锥的底面正方形边长是3,
是在底面上的射影,
,
是
上的一点,过
且与
、
都平行的截面为五边形
.
(1)在图中作出截面,并写出作图过程;
(2)求该截面面积的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)9.
【解析】
(1)根据题意,作辅助线,过作
,
且过点
作
,交
于点
,过点
作
交
于点
,连接
, 即可得出截面
;
(2)由题意可知,截面
,
截面
,根据
平面
,利用线面垂直的性质和判定,可证出
平面
,则
,进而得出
,所以截面
是由两个全等的直角梯形组成,设
,则
,截面
面积为
,根据
,代入计算,最后利用二次函数求得最大值.
解:(1)由题可知,是
上的一点,过
且与
、
都平行的截面为五边形
,
过作
,交
于点
,交
于点
,
过作
,交
于点
,
再过点作
,交
于点
,
过点作
交
于点
,连接
,
,
,
,
,
所以共面,
平面
,
,
平面
,
平面
,同理
平面
.
所以过且与
、
都平行的截面
如下图:
(2)由题意可知,截面
,
截面
,
,
,
而是在底面上的射影,
,
平面
,
,
,且
,
所以平面
,则
,
,
又,
为正四棱锥,
,故
,
于是,
因此截面是由两个全等的直角梯形组成,
因,则
为等腰直角三角形,
设,则
,
所以,,
,同理得,
,
又因为,
设截面面积为
,
所以,
即:,
当且仅当时,
有最大值为9.
所以截面的面积最大值为9.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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