题目内容
【题目】已知函数,
.
Ⅰ
讨论
的单调性;
Ⅱ
当
时,若关于x的不等式
恒成立,求实数b的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当时,
在
上是单调增函数,当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减;
(Ⅱ)
【解析】
Ⅰ
求出原函数的导函数,可得当
时,
,
在
上是单调增函数;当
时,求出导函数的零点,把定义域分段,由导函数在各区间段的符号确定原函数的单调区间;
Ⅱ
由
Ⅰ
可得,当
时,求出函数的最大值
,把不等式
恒成立,转化为
在
时恒成立,换元后利用导数求最值得答案.
Ⅰ
,
.
当时,
,
在
上是单调增函数;
当时,
.
当时,
,当
时,
,
在
上单调递增,在
上单调递减.
综上,当时,
在
上是单调增函数,
当时,
在
上单调递增,在
上单调递减;
Ⅱ
由
Ⅰ
可得,当
时,
.
由不等式恒成立,得
恒成立,
即在
时恒成立.
令,
,则
,
当时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减.
的最大值为
.
由,得
.
实数b的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查,该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生,调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”,现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,统计情况如下表:
同意 | 不同意 | 合计 | |
男生 | a | 5 | |
女生 | 40 | d | |
合计 | 100 |
(1)求 a,d 的值,根据以上数据,能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;
(2)将上述调查所得的频率视为概率,现在从所有学生中,采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查,记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望.
附:
0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】在2016年8月巴西里约热内卢举办的第31届奥运会上,乒乓球比赛团体决赛实行五场三胜制,且任何一方获胜三场比赛即结束.甲、乙两个代表队最终进入决赛,根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析,甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表:
出场顺序 | 1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 |
获胜概率 |
若甲队横扫对手获胜(即3∶0获胜)的概率是,比赛至少打满4场的概率为
.
(1)求,
的值;
(2)求甲队获胜场数的分布列和数学期望.