Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＝2，△ABC的面积为2，求b＋c．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）6.

试题分析：(Ⅰ) 对于2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC通过三角恒等变换，再结合角的范围即可得；(Ⅱ)利用余弦定理、面积公式可求.
试题解析：(Ⅰ) 由2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC，得
2(cosBcosC＋sinBsinC)＋1＝4cosBcosC，
即2(cosBcosC－sinBsinC)＝1，亦即2cos(B＋C)＝1，
∴cos(B＋C)＝．    ∵0＜B＋C＜π，∴B＋C＝．
∵A＋B＋C＝π，    ∴A＝．                  6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得A＝．
由S_△ABC＝2，得bcsin＝2，∴bc＝8．  ①
由余弦定理a²＝b²＋c²－2bccosA，得
(2)²＝b²＋c²－2bccos，即b²＋c²＋bc＝28，
∴(b＋c)²－bc＝28．                        ②
将①代入②，得(b＋c)²－8＝28，
∴b＋c＝6．                           12分