Question

（本小题满分13分）如图，椭圆的焦点在轴上，左、右顶点分别为、，上顶点为，抛物线、分别以、为焦点，其顶点均为坐标原点，与相交于直线上一点.
（Ⅰ）求椭圆及抛物线、的方程；
（Ⅱ）若动直线与直线垂直，且与椭圆交于不同的两点、,已知点，求的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）椭圆C:，抛物线C₁：抛物线C₂：；
（Ⅱ）其最小值等于 .

(1)根据点P是三条曲线的交点，利用方程组可解出P点坐标及a的值。
（2）设直线方程为，然后与椭圆方程联立，消y得一元二次方程利用违达定得代入可建立关于b的方程，解出b再验证判断式即可。
解：（Ⅰ）由题意，A（，0），B（0，），故抛物线C₁的方程可设为，C₂的方程为…………………………1分
由  得…………………………3分
所以椭圆C:，抛物线C₁：抛物线C₂：…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为
设直线方程为
由，整理得…………………… 6分
因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以
解得              …………………………7分
设M（）、N（），则
……8分
因为
所以
………………………… 11分
因为，所以当时，取得最小值
其最小值等于…………………………13分