Question

如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是PD的中点，F为ED的中点．
 
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；
(2)求证：CF∥平面BAE.

Answer 1

见解析

(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，(2分)
又AC⊥CD，且AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC，(4分)
又CD?平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.(7分)
(2)取AE中点G，连接FG，BG.

因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝AD.(9分)
在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
所以AC＝AD，所以BC＝AD.(11分)
在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，
从而∠ACB＝∠DAC，所以AD∥BC.
综上，FG∥BC，FG＝BC，四边形FGBC为平行四边形，所以CF∥BG.(13分)
又BG?平面BAE，CF?平面BAE，所以CF∥平面BAE.(14分)