题目内容
己知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F(1,0),点A(2,0)在椭圆C上,斜率为1的直线
与椭圆C交于不同两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线过点F(1,0),求线段
的长;
(3)若直线过点(m,0),且以
为直径的圆恰过原点,求直线
的方程.
(1)椭圆C的方程;(2)线段
的长为
;(3)直线
的方程为
.
【解析】
试题分析:(1)根据椭圆的右焦点为F(1,0),点A(2,0)在椭圆C上,代入即可求得椭圆C的方程;(2)先用点斜式
写出直线方程,再和椭圆方程联立,用弦长公式
即可求出线段
的长为
;(3)设直线
的方程为
,直线与椭圆的两个交点设为
,
,把直线方程与椭圆方程联立,表示出
,而以线段
为直径的圆恰好过原点,即
;联立即可求出直线
的方程为
.
试题解析:(1)由题意:,
,
,
所求椭圆方程为. 4分
(2)由题意,直线的方程为:
.
由得
,
所以. 6分
(3)设直线的方程为
,
由消去y整理得
.
因为直线l与椭圆C交于不同两点M、N,
所以
解得:
设,
,
则,
,
所以,
因为以线段为直径的圆恰好过原点,所以
,
所以,即
解得,
.
所求直线的方程为
10分
考点:直线与圆锥曲线综合问题、方程思想的应用.

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