题目内容

如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,分别将线段十等分,分点分别记为,连接,过轴的垂线与交于点

(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求抛物线的方程;
(2)过点作直线与抛物线E交于不同的两点, 若的面积之比为4:1,求直线的方程。
(1)见解析
(2)直线的方程为,即
(1)依题意,过且与x轴垂直的直线方程为
直线的方程为
坐标为,由得:,即
都在同一条抛物线上,且抛物线方程为
(2)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为

此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点
设:,则


分别带入,解得
直线的方程为,即
此题在问法上给学生设了一个卡,如果第一问直接问的轨迹方程,估计学生更容易入手一些,不过对于知识要活学活用(证明它求出不就说明问题了)。那么第二问有关解析几何的计算就要善于转化,且计算要过关。
【考点定位】 本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,化归与转化及数形结合思想、函数与方程思想。属于中等难度。
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