题目内容
【题目】已知数列{an}满足a1=9，an+1=an+2n+5；数列{bn}满足b1= 
，bn+1= 
bn（n≥1）．
（1）求an ， bn；
（2）记数列{ 
}的前n项和为Sn ， 证明： 
≤Sn＜ ．
【答案】
（1）解：由an+1=an+2n+5得an+1﹣an=2n+5，
则a2﹣a1=7，
a3﹣a2=9，
…
an﹣1﹣an﹣2=2（n﹣2）+5，
an﹣an﹣1=2（n﹣1）+5=2n+3
等式两边同时相加得
an﹣a1= 
×（n﹣1）=（5+n）（n﹣1）=n2+4n﹣5，
则an=a1+n2+4n﹣5=n2+4n﹣5+9=n2+4n+4，
所以数列{an}的通项公式为 
．
又∵ 
， 
，
∴ 
，∴ 
， 
， 
，…， 
，
将上述（n﹣1）个式子相乘，得 
，即 
．
（2）解：∵ 
．
∵ 
= 
，
，∴ 
【解析】（1）利用数列的递推关系，利用累加法和累积法进行求解即可．（2）求出数列{ 
}的通项公式，利用裂项法进行求解，结合不等式的性质进行证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．
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