Question

3．已知n∈N^*，且n＞1，三个数ln$\frac{n+1}{n}$、$\frac{1}{n+1}$、$\frac{1}{n}$的大小关系是（　　）

• A． $\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$
• B． ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$
• C． $\frac{1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$＞ln$\frac{n+1}{n}$
• D． $\frac{1}{n+1}$＞$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$

Answer 1

分析 构造函数f（x）=x-ln（1+x），x＞0，利用导数判断f（x）的单调性，得出x＞ln（1+x），令x=$\frac{1}{n}$得$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$；同理，设g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，x＞0，得出ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$，即得$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$．

解答 解：设函数f（x）=x-ln（1+x），x＞0，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{1+x}$＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴x＞ln（1+x）；
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N^*，且n＞1，
则$\frac{1}{n}$＞ln（1+$\frac{1}{n}$）=ln$\frac{n+1}{n}$；
同理，设g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{{（1+x）}^{2}}$=$\frac{x}{{（1+x）}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$；
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N^*，且n＞1，
∴ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}$，
即ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$；
综上，$\frac{1}{n}$＞ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$．
故选：A．

点评 本题考查了构造函数的应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性比较大小的应用问题，是综合性题目．