题目内容

11.已知正三角形内切圆的半径是高的$\frac{1}{3}$,把这个结论推广到正四面体,类似的结论正确的是(  )
A.正四面体的内切球的半径是高的$\frac{1}{2}$B.正四面体的内切球的半径是高的$\frac{1}{3}$
C.正四面体的内切球的半径是高的$\frac{1}{4}$D.正四面体的内切球的半径是高的$\frac{1}{6}$

分析 连接球心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为r的三棱锥,正四面体的体积,就是四个三棱锥的体积的和,求解即可.

解答 解:如图示:

球心到正四面体一个面的距离即球的半径r,连接球心与正四面体的四个顶点.
把正四面体分成四个高为r的三棱锥,所以4×$\frac{1}{3}$S×r=$\frac{1}{3}$×S×h,r=$\frac{1}{4}$h,
(其中S为正四面体一个面的面积,h为正四面体的高)
故选:C.

点评 本题考查类比推理,解题的关键是明确类比的方法,明确正三角形面积、正四面体体积的计算方法.

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