题目内容
如图，
为半圆，
为半圆直径，
为半圆圆心，且
，
为线段
的中点，已知
，曲线
过点，动点
在曲线上运动且保持
的值不变.
(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；
(II)过点
的直线
与曲线交于
两点，与所在直线交于
点，
，
证明：
为定值.
（1）
；（2）
.
解析试题分析：（1）根据题意建立适当的坐标系，以为坐标原点，因为的值不变，所以会想到椭圆的定义，根据椭圆的定义，需要知道的值，易知
，故椭圆的基本量就能很快求出，从而求出最终椭圆的标准方程.（2）圆锥曲线与向量的综合，最好使用点的坐标表示，可以根据题意设出
的坐标，利用，的关系，反求出（含
）的坐标代入到椭圆方程中，得到
，
，可见
是方程
的两个根，故.还可以利用联立方程组的方法，但稍微复杂一点，具体过程见解答.
试题解析：（1）以为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，建立平面直角坐标系.
因为动点在曲线上运动且保持的值不变，而点也在曲线上，
所以
，满足椭圆的定义，
故曲线是以原点为中心，
为焦点的椭圆.
则
，
，
所以曲线的标准方程为
（2）
解法一：设而不求法
设的坐标分别为
，则
，
带入到得
化简，得
同理由，得
是方程的两个根
解法二：联立方程组法
设点的坐标分别为
，
易知点的坐标为
．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．
显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 
，则直线 的方程是 
将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得
．
∴
，
又 ∵
， 则
．∴
，
同理，由
，∴
∴
.
考点：1.圆锥曲线的定义，标准方程的求解；2.向量与圆锥曲线的综合性问题.
练习册系列答案
相关题目
，且在x轴上截得弦长为2，记该圆圆心的轨迹为E.
的直线m交曲线E于A，B两点，过A，B两点分别作曲线E的切线，两切线交于点C，当△ABC的面积为
时，求直线m的方程.
是椭圆
的右焦点，圆
与
轴交于
两点，
是椭圆
与圆
的一个交点，且
.
与
，且
的面积等于
，求椭圆
的距离比它到
轴的距离大
的轨迹
的方程；
为曲线
，
为圆
的外切三角形，求
,曲线
,P是平面上一点,若存在过点P的直线与
都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
与
有公共点,求证
,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
内的点都不是“C1—C2型点”.
，过
轴上一点
的直线与抛物线交于点
两点。
为常数，并确定
中，椭圆
的右焦点为
，离心率为
．分别过
，
的两条弦
，
相交于点
（异于
，
两点），且
．
，
的斜率之和为定值．
中,已知
,直线
, 动点
到
的距离是它到定直线
距离的
倍. 设动点
. 
, 若直线
为曲线
到
,试判断
是否为常数,请说明理由. 
：
的右焦点
在圆
上，直线
交椭圆于
、
两点.
(
为坐标原点)，求
的值；