Question

6．如图，设抛物线y²=4x的焦点为F，O为抛物线的顶点．过F作抛物线的弦PQ，直线OP，OQ分别交直线x-y+2=0于点M，N．
（Ⅰ）当PQ∥MN时，求$\overrightarrow{{O}{P}}•\overrightarrow{{O}Q}$的值；
（Ⅱ）设直线PQ的方程为x-my-1=0，记△OMN的面积为S（m），求S（m）关于m的解析式．

Answer 1

分析 （I）由抛物线y²=4x，可得焦点为F（1，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由PQ∥MN，直线MN的方程为：y=x+2．可得直线PQ的方程为：y=x-1．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用数量积运算性质即可得出；
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-4my-4=0，可得根与系数的关系，直线OP的方程为：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}x$，联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}x}\end{array}\right.$，解得M，同理可得N．可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．利用两点之间的距离公式可得|MN|，点O到MN的距离为d．即可得出S（m）=$\frac{1}{2}d$|MN|．

解答 解：（I）由抛物线y²=4x，可得焦点为F（1，0），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵PQ∥MN，直线MN的方程为：y=x+2．
直线PQ的方程为：y=x-1．
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-4y-4=0，
∴y₁+y₂=4，y₁y₂=-4．
x₁x₂=（y₁+1）（y₂+1）=y₁y₂+（y₁+y₂）+1=-4+4+1=1．
∴$\overrightarrow{{O}{P}}•\overrightarrow{{O}Q}$=x₁x₂+y₁y₂=1-4=-3．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=1．
直线OP的方程为：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}x$，联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}x}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{2{x}_{1}}{{y}_{1}-{x}_{1}}$，y=$\frac{2{y}_{1}}{{y}_{1}-{x}_{1}}$．
∴M$（\frac{2{x}_{1}}{{y}_{1}-{x}_{1}}，\frac{2{y}_{1}}{{y}_{1}-{x}_{1}}）$，
同理可得：N$（\frac{2{x}_{2}}{{y}_{2}-{x}_{2}}，\frac{2{y}_{2}}{{y}_{2}-{x}_{2}}）$．
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$．
∴|MN|=$\sqrt{（\frac{2{x}_{1}}{{y}_{1}-{x}_{1}}-\frac{2{x}_{2}}{{y}_{2}-{x}_{2}}）^{2}+（\frac{2{y}_{1}}{{y}_{1}-{x}_{1}}-\frac{2{y}_{2}}{{y}_{2}-{x}_{2}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|}{|{y}_{1}{y}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{x}_{2}|}$=$\frac{2\sqrt{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|}{|3-4m|}$=$\frac{8\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{|3-4m|}$，
点O到MN的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴S（m）=$\frac{1}{2}d$|MN|=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×$$\frac{8\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{|3-4m|}$=$\frac{8\sqrt{{m}^{2}+1}}{|3-4m|}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．