Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．
（3）若AB=4，BC=3，求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

分析：（1）连接AC，设AC∩BD=0，连接EO，底面是正方形，可得OE为△PAC的中位线，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）PD⊥平面AC，BC?平面AC，所以BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，可得BC⊥平面PDC在△PDC为等腰三角形中证明DE⊥平面PBC，从而求证．
（3）O为BD的中点，故CO⊥BD．面BCD⊥面PBD．得出CO为点C到平面PBD的距离．在Rt△BCD中，BC=3，CD=4，
由面积法得点C到平面PBD的距离即可．

解答：证明：（1）连接AC交BD与O，连接EO．
∵底面ABCD是矩形，
∴点O是AC的中点．
又∵E是PC的中点
∴在△PAC中，EO为中位线
∴PA∥EO．（3分）
而EO?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．（5分）
（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC，而DE?平面PDC，
∴BC⊥DE．①（8分）
∵PD=DC，E是PC的中点，
∴△PDC是等腰三角形，DE⊥PC．②
由①和②得DE⊥平面PBC．
而PB?平面PBC，
∴DE⊥PB．
又EF⊥PB且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．（10分）
（3）O为BD的中点，故CO⊥BD．
∵面BCD⊥面PBD．
∴CO为点C到平面PBD的距离．
在Rt△BCD中，BC=3，CD=4，
由面积法得：CO=

12

5

．
故 点C到平面PBD的距离为：

12

5

（14分）

点评：此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．