Question

2．已知2a²+3b²=10，求y=a$\sqrt{{b}^{2}+2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 平方配凑可得当a＞0时y²的最大值，开方可得，同理可得最小值．

解答 解：当a＞0时，y²=a²（b²+2）=$\frac{1}{6}$•2a²（3b²+6）
≤$\frac{1}{6}$（$\frac{2{a}^{2}+3{b}^{2}+6}{2}$）²=$\frac{1}{6}$（$\frac{10+6}{2}$）²=$\frac{32}{3}$，
当且仅当2a²=3b²+6即a=2且b=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$时取等号，
∴y=a$\sqrt{{b}^{2}+2}$的最大值为$\sqrt{\frac{32}{3}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
同理当a＜0时，当且仅当a=-2且b=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，y=a$\sqrt{{b}^{2}+2}$取最小值-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及“配凑法”和分类讨论，属中档题．