题目内容
设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-3f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.则f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)=( )
A.-
| B.-
| ||||||||
C.-
| D.-
|
∵当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,
∴当x=0时,f(0)=0,当x=1时,f(1)=1,
又∵f(x+2)=-3f(x),
∴当x=-2时,f(0)=-3f(-2),故f(-2)=0,
当x=-1时,f(1)=-3f(-1),故f(-1)=-
,
以此类推,f(-4)=f(-6)=…=f(-2014)=0,
故f(0)+f(-2)+f(-4)+…+f(-2014)=0,
∵f(x+2)=-3f(x),
∴
=-
,
故f(-1),f(-3),f(-5),…,f(-2013)构成以f(-1)为首项,-
为公比的等比数列,
∴f(-1)+f(-3)+f(-5)+…+f(-2013)=
=-
(1+
),
∴f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)=[f(0)+f(-2)+f(-4)+…+f(-2014)]+[f(-1)+f(-3)+f(-5)+…+f(-2013)]=0+-
(1+
)=-
(1+
),
∴f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)=-
(1+
).
故选:D.
∴当x=0时,f(0)=0,当x=1时,f(1)=1,
又∵f(x+2)=-3f(x),
∴当x=-2时,f(0)=-3f(-2),故f(-2)=0,
当x=-1时,f(1)=-3f(-1),故f(-1)=-
1 |
3 |
以此类推,f(-4)=f(-6)=…=f(-2014)=0,
故f(0)+f(-2)+f(-4)+…+f(-2014)=0,
∵f(x+2)=-3f(x),
∴
f(x) |
f(x+2) |
1 |
3 |
故f(-1),f(-3),f(-5),…,f(-2013)构成以f(-1)为首项,-
1 |
3 |
∴f(-1)+f(-3)+f(-5)+…+f(-2013)=
-
| ||||
1-(-
|
1 |
4 |
1 |
31007 |
∴f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)=[f(0)+f(-2)+f(-4)+…+f(-2014)]+[f(-1)+f(-3)+f(-5)+…+f(-2013)]=0+-
1 |
4 |
1 |
31007 |
1 |
4 |
1 |
31007 |
∴f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)=-
1 |
4 |
1 |
31007 |
故选:D.
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