题目内容
【题目】已知抛物线的方程为
，过点
的直线
与抛物线相交于
两点，分别过点
作抛物线的两条切线
和
，记
和
相交于点
.
（1）证明：直线
和
的斜率之积为定值；
（2）求证：点
在一条定直线上.
【答案】（1）直线
和
的斜率之积为定值
.（2）点
在定直线
上.
【解析】试题分析：（1）依题意，直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，与抛物线联立得
，设
的坐标分别为
，根据求导得切线斜率，结合韦达定理即可证得；
（2）由点斜式写出直线
和
的方程，联立这两个方程，消去
得整理得
，注意到
，所以
，此时
，从而得证.
试题解析：
解：（1）依题意，直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
将其代入
，消去
整理得
.
设
的坐标分别为
，
则
.
将抛物线的方程改写为
，求导得
.
所以过点
的切线
的斜率是
，过点
的切线
的斜率是
，
故
，
所以直线
和
的斜率之积为定值
.
（2）设
.因为直线
的方程为
，即
，
同理，直线
的方程为
，
联立这两个方程，消去
得
，
整理得
，注意到
，所以
.
此时
.
由（1）知， 
，所以
，
所以点
在定直线
上.
【题目】某地区业余足球运动员共有15000人，其中男运动员9000人，女运动员6000人，为调查该地区业余足球运动员每周平均踢足球占用时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位业务足球运动员每周平均踢足球占用时间的样本数据（单位：小时）
得到业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．
将“业务运动员的每周平均踢足球时间所占用时间超过4小时”
定义为“热爱足球”．
附：K2= 
P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
（1）应收集多少位女运动员样本数据？
（2）估计该地区每周平均踢足球所占用时间超过4个小时的概率．
（3）在样本数据中，有80位女运动员“热爱足球”．请画出“热爱足球与性别”列联表，并判断是否有99%的把握认为“热爱足球与性别有关”．
