题目内容
【题目】已知抛物线的方程为,过点
的直线
与抛物线相交于
两点,分别过点
作抛物线的两条切线
和
,记
和
相交于点
.
(1)证明:直线和
的斜率之积为定值;
(2)求证:点在一条定直线上.
【答案】(1)直线和
的斜率之积为定值
.(2)点
在定直线
上.
【解析】试题分析:(1)依题意,直线的斜率存在,设直线
的方程为
,与抛物线联立得
,设
的坐标分别为
,根据求导得切线斜率,结合韦达定理即可证得;
(2)由点斜式写出直线和
的方程,联立这两个方程,消去
得整理得
,注意到
,所以
,此时
,从而得证.
试题解析:
解:(1)依题意,直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
将其代入,消去
整理得
.
设的坐标分别为
,
则.
将抛物线的方程改写为,求导得
.
所以过点的切线
的斜率是
,过点
的切线
的斜率是
,
故,
所以直线和
的斜率之积为定值
.
(2)设.因为直线
的方程为
,即
,
同理,直线的方程为
,
联立这两个方程,消去得
,
整理得,注意到
,所以
.
此时.
由(1)知, ,所以
,
所以点在定直线
上.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某地区业余足球运动员共有15000人,其中男运动员9000人,女运动员6000人,为调查该地区业余足球运动员每周平均踢足球占用时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位业务足球运动员每周平均踢足球占用时间的样本数据(单位:小时)
得到业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].
将“业务运动员的每周平均踢足球时间所占用时间超过4小时”
定义为“热爱足球”.
附:K2=
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
(1)应收集多少位女运动员样本数据?
(2)估计该地区每周平均踢足球所占用时间超过4个小时的概率.
(3)在样本数据中,有80位女运动员“热爱足球”.请画出“热爱足球与性别”列联表,并判断是否有99%的把握认为“热爱足球与性别有关”.