Question

求和S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1.

Answer 1

解：(1)当x=0时，S_n=1.

(2)当x=1时，S_n=1+2+3+…+n=.

(3)当x≠0且x≠1时，a_n=nx^n-1可看成是由一个等差数列b_n=n和一个等比数列c_n=x^n-1的对应项相乘得到的一个新的数列，进而想到用错位相减法求它的前n项和S_n.

∵S_n=1+2x+3x²+…+(n-1)x^n-2+nx^n-1,

∴xS_n=x+2x²+3x³+…+(n-1)x^n-1+nxⁿ.

∴(1-x)S_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=-nxⁿ.

∵x≠1,

∴S_n=.

综上，S_n=