题目内容

利用导数求和:
(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0,n∈N*);
(2)Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn(n∈N*).
分析:(1)当x=1时,Sn易求;当x≠1时,对x+x2+x3++xn=
x-xn+1
1-x
两边求导数可得答案.
(2)对(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn两边求导数后令x=1可得答案.
解答:解:(1)当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=
n
2
(n+1),
当x≠1时,∵x+x2+x3+…+xn=
x-xn+1
1-x

两边对x求导,得Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=(
x-xn+1
1-x
)′=
1-(n+1)xn+nxn+1
(1-x)2

(2)∵(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn
两边对x求导,得n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1
令x=1,得n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
即Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1
点评:本题主要考查导数的运算性质,属中档题.
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