题目内容

利用导数求和

(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn1(x≠0,n∈N*)

(2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*)

(1) Sn=1+2x+3x2+…+nxn1=

 (2) Sn=C+2C+…+nC=n·2n-1


解析:

(1)当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);

x≠1时,

x+x2+x3+…+xn=,

两边都是关于x的函数,求导得

(x+x2+x3+…+xn)′=()′

Sn=1+2x+3x2+…+nxn1=

(2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,

两边都是关于x的可导函数,求导得

n(1+x)n1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn1,

x=1得,n·2n1=C+2C+3C+…+nC,

Sn=C+2C+…+nC=n·2n-1

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