题目内容
利用导数求和:
(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0,n∈N*);
(2)Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn(n∈N*).
(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0,n∈N*);
(2)Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn(n∈N*).
(1)当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=
(n+1),
当x≠1时,∵x+x2+x3++xn=
,
两边对x求导,得Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=(
)′=
.
(2)∵(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn,
两边对x求导,得n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1.
令x=1,得n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn,
即Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3++nCnn=n•2n-1.
n |
2 |
当x≠1时,∵x+x2+x3++xn=
x-xn+1 |
1-x |
两边对x求导,得Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=(
x-xn+1 |
1-x |
1-(n+1)xn+nxn+1 |
(1-x)2 |
(2)∵(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn,
两边对x求导,得n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1.
令x=1,得n•2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn,
即Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3++nCnn=n•2n-1.
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