Question

12．已知O是正三角形ABC内部的一点，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△OAC的面积与△OAB的面积之比为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件对两个三角形的面积进行探究

解答 解：$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则变为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，如图D，E分别是对应边的中点
由平行四边形法则知$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$，$2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$
故$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OD}$
由于三角形ABC是等边三角形，
故S△AOC=$\frac{2}{3}$S△ADC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×S△ABC=$\frac{1}{3}$S△ABC
又D，E是中点，故O到AB的距离是正三角形ABC高的一半
所以S△AOB=$\frac{1}{2}$×S△ABC
∴△OAC的面积与△OAB的面积之比为$\frac{2}{3}$；
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义，本题中把两个三角形的面积都用三角形ABC的面积表示出来．