Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=t-3 y= 3 t

（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0．
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线L的距离的取值范围．

Answer 1

分析：①直线l的参数方程为

x=t-3 y= 3 t

（t为参数），消去参数t可得y=

3

(x+3)；由曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0，利用ρ²=x²+y²，

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出．
②由①可得⊙C的圆心为C（2，0），半径r=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线L的距离d．则点P到直线L的距离的取值范围是[d-r，d+r]

解答：解：①直线l的参数方程为

x=t-3 y= 3 t

（t为参数），消去参数t可得y=

3

(x+3)；
由曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0化为x²+y²-4x+3=0，即（x-2）²+y²=1．
②由①可得⊙C的圆心为C（2，0），半径r=1．
则圆心到直线L的距离d=

|2 3 +3 3 |

( 3 )2+1

=

5 3

2

．
∴d+r=

5 3

2

+1，d-r=

5 3

2

-1．
∴点P到直线L的距离的取值范围是[

5 3

2

-1，

5 3

2

+1]．

点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．