题目内容
（2009•杨浦区一模）（理）已知函数f(x)=2sinωxcosωx-2
cos2ωx+1+
(x∈R，ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在[
，
]上恒成立，求实数m的取值范围．
| 3 |
| 3 |
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
分析：（1）求三角函数的周期要先对函数的解析式进行化简，再由公式T=
建立方程求出参数的值；
（2）由（1）f(x)=1+2sin(2x-
)，令其相位满足2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
，k∈Z，解出x的取值范围，即可得到所求的单调增区间；
（3）先解出函数f（x）在区间[
，
]上的最值，由绝对值不等式的性质转化出关于m的不等式，解出其范围即可
| 2π |
| ω |
（2）由（1）f(x)=1+2sin(2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（3）先解出函数f（x）在区间[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
解答：解：（理）（1）f(x)=-2
(
)+sin2ωx+1+
----（2分）
=sin2ωx-
cos2ωx+1=2sin(2ωx-
)+1-------（3分）
由题设可得，
=π，所以ω=1．---------------------------（4分）
（2）由（1）得 f(x)=1+2sin(2x-
)，由题意
则有 2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
，（k∈Z）------------（7分）
即 kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z）
故 单调增区间为[ ，（k∈Z）----（10分）
（3）∵f(x)=1+2sin(2x-
)．又∵x∈[
，
]，∴
≤2x-
≤
，------------------------------------------（11分）
即2≤1+2sin(2x-
)≤3，----------------------------------（13分）
∴f（x）max=3，f（x）min=2．∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[
，
]，---------------------（14分）
∴m＞f（x）max-2，m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，
即m的取值范围是（1，4）．---------------------------------------（16分）
| 3 |
| 1+cos2ωx |
| 2 |
| 3 |
=sin2ωx-
| 3 |
| π |
| 3 |
由题设可得，
| 2π |
| 2ω |
（2）由（1）得 f(x)=1+2sin(2x-
| π |
| 3 |
则有 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
即 kπ-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
故 单调增区间为[ ，（k∈Z）----（10分）
（3）∵f(x)=1+2sin(2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
即2≤1+2sin(2x-
| π |
| 3 |
∴f（x）max=3，f（x）min=2．∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴m＞f（x）max-2，m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，
即m的取值范围是（1，4）．---------------------------------------（16分）
点评：本题以三角函数为背景考查函数恒成立的问题，函数恒成立的问题是函数中一类难度较高的题型，解答此类题关键是对问题正确转化，此类题一般是求参数范围的题，将恒成立的关系转化为参数所满足的不等式或方程是常规思路，本题考查了转化的思想，方程的思想，变形的能力，推理论证的能力，综合性较强
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