Question

（2009•杨浦区一模）研究人员发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：分钟）的变化规律是：y=m2^x+2^1-x（x≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求经过多少时间，该温度为5摄氏度；
（2）若该物质的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将m=2，x=5代入y=m2^x+2^1-x（x≥0，并且m＞0）．解指数方程即可求出x的值；
（2）问题等价于m2^x+2^1-x≥2（t≥0）恒成立，求出m2^x+2^1-x的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．

解答：解：（1）由题意，当m=2，则2•2^x+2^1-x=5----------------（2分）
解得x=1或x=-1；  由x≥0，∴x=1-----------（5分）
故经过1时间，温度为5摄氏度；-------------------------------（6分）
（2）由题意得m2^x+2^1-x≥2对一切x≥0恒成立，-------（7分）
则 由2^x＞0，得 m≥

2

2x

-

2

(2x)2

---------------------（9分）
令t=2^-x则0＜t≤1，f(t)=-2t2+2t=-2(x-

1

2

)2+

1

2

------------------（11分）
当t=

1

2

时，取得最大值为

1

2

；-------------------------（12分）
∴m≥

1

2

故的取值范围为[

1

2

，+∞)----------------（14分）

点评：本题的考点是函数模型的选择与运用，主要考查了函数模型的选择，不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与化归的思想，属于中档题．