Question

5．已知平面向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OB}$所成的角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=3，|$\overrightarrow{OC}$|满足|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$|=1，则|$\overrightarrow{AC}$|的取值范围是（　　）

• A． [1，3]
• B． [$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$+1]
• C． [$\sqrt{6}$-1，$\sqrt{6}$+1]
• D． [$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$|=1可得$|\overrightarrow{CB}|$=1．如图所示，可得A，B，利用两点之间的距离公式可得|AB|，利用|AB|-R≤|AC|≤|AB|+R，即可得出|$\overrightarrow{AC}$|的取值范围．

解答 解：由|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$|=1可得$|\overrightarrow{CB}|$=1．
如图所示，A$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，B（3，0），
|AB|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-3）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵|AB|-R≤|AC|≤|AB|+R．
∴|$\overrightarrow{AC}$|的取值范围是$[\sqrt{7}-1，\sqrt{7}+1]$．
故选：D．

点评 本题考查了向量的应用、两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，考查了数形结合方法、计算能力，属于中档题．