题目内容

5.若函数f(x)=$\frac{{x}^{2}+c+1}{\sqrt{{x}^{2}+c}}$的最小值是2,则实数c的取值范围是(  )
A.c≤1B.c≥1C.c<0D.c∈R

分析 化简f(x)=$\frac{{x}^{2}+c+1}{\sqrt{{x}^{2}+c}}$=$\sqrt{{x}^{2}+c}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+c}}$,从而利用基本不等式可得1-c≥0,从而解得.

解答 解:∵f(x)=$\frac{{x}^{2}+c+1}{\sqrt{{x}^{2}+c}}$=$\sqrt{{x}^{2}+c}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+c}}$,
∴f(x)≥2,
(当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+c}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+c}}$,即x2=1-c有解时,等号成立),
故1-c≥0,
解得,c≤1;
故选:A.

点评 本题考查了基本不等式的应用及函数的最值的求法.

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