题目内容
【题目】已知函数f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），若对于任意x∈[2，4]，不等式f（x）+t≤2恒成立，则t的取值范围为 ．
【答案】（﹣∞,10]
【解析】解：∵f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴2x2+bx+c＜0的解集是（0，5），所以0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，
由韦达定理知，﹣ 
=5， 
=0，∴b=﹣10，c=0，∴f（x）=2x2﹣10x．
f（x）+t≤2 恒成立等价于2x2﹣10x+t﹣2≤0恒成立，
∴2x2﹣10x+t﹣2的最大值小于或等于0．
设g（x）=2x2﹣10x+t﹣2≤0，
则由二次函数的图象可知g（x）=2x2﹣10x+t﹣2在区间[2，2.5]为减函数，在区间[2.5，4]为增函数．
∴g（x）max=g（4）=﹣10+t≤0，∴t≤10．
所以答案是（﹣∞，10]．
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