Question

【题目】为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向（即）．现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B．假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km．

（1）求两站点A，B之间距离的最小值；

（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？

Answer 1

【答案】（1）；（2）设计出入口A离市中心O的距离在到20km之间时，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）．

【解析】

（1）过点O作于点E，则，设，则，，则有，然后利用三角函数的知识求出分母的最大值即可

（2）以O为原点建立平面直角坐标系，设直线AB的方程为，可得和，解得或（舍），可得，又当时，，从而可得.

（1）过点O作于点E，则，

设，则，

所以，

所以；

因为；

所以当时，AB取得最小值为；

（2）以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示；

则圆C的方程为，

设直线AB的方程为；

∴，∴，

解得或（舍），∴，

又当时，，

所以；

综上知，当时，即设计出入口A离市中心O的距离在到20km之间时，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）．